高数复习重点解析之——微分方程与无穷级数

“世事洞明皆学问”。想把一件事做好，就需要用心揣摩其规律、总结其方法。考研复习亦不例外：除了结合考纲把基础打牢，还需适当总结方法、关注重点。针对考生需求，数学教研室精心准备了2014年暑期考研数学复习重点解析。以下是高数微分方程与无穷级数部分，供参考。

一、微分方程

微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。该部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右。常考的题型包括各种类型微分方程的求解，线性微分方程解的性质，综合应用。

对于该部分内容的复习，考生首先要能识别各种方程类型(一阶：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一);高阶：线性方程、欧拉方程(数一)、高阶可降阶的方程(数一、二))，熟悉其求解步骤，并通过足量练习以求熟练掌握;在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景，建立微分方程。

另外，有几点需提醒考生：

1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力，而实际应用则对考生的综合能力提出较高要求，考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。

2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。

3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。

二、无穷级数

级数可视为微积分的综合应用。该部分是数一、数三的必考内容，分值约占10%。常考的题型有：常数项级数的收敛性，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数展开，幂级数求和，常数项级数求和以及傅里叶级数。其中幂级数是重点。

结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：

1. 常数项级数

理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。

2. 幂级数

考试有三方面的要求：幂级数收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数，准确计算其收敛半径进而得到收敛域，能求其和函数，能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。

3.傅里叶级数

考试出现频率和考试要求均较低，掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。

如何有效地复习考研数学?如果我们也视其为一道数学题，我想我们应该明白：我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清，也要做积分运算——持续地投入，积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了，还要有灵活的思维——于点、线、面，数、表、空间，常量、变量、随机变量间自由游弋;面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调，人却要让过去决定未来吗，面对不如意的现状要接纳——作为考生，我们无权更改微分方程的初始条件，我们能做的是接受它，把题漂亮地解出来。

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