2017考研数学大纲解析:线性代数(五)
2017年的考研数学大纲刚刚出炉,和2016年相比,大纲基本上没有变动,考研数学的三个学科-高等数学、线性代数、概率论与数理统计,各个学科所占的比例不变、考试题型不变、各科难点和重点与往年也相同。所以说,考生们可以放下心来,按照原定的规划进行复习就可以了。
具体到线性代数这一学科,在复习的时候,每一个模块的重点、难点应该如何把握呢?本文就以实对称矩阵这一模块为例,介绍一下考生在这一个模块的复习重点。
所谓实对称矩阵是指元素全为实数的对称矩阵,实对称矩阵是一种比较特殊的矩阵,主要是因为除了一般矩阵具有的性质之外,实对称矩阵还有着一些特殊的性质,而这些特殊的性质往往会成为考试当中的考点。具体来说,实对称矩阵有三条特殊的性质:1)实对称矩阵的特征值全为实数,这是与非实对称矩阵的第一个不同之处,因为,非实对称矩阵的特征值有可能是虚数;2)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交,而非实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量只是线性无关,不一定正交;3)实对阵矩阵有个线性无关的特征向量,即实对称矩阵必可相似对角化,并且存在一个正交矩阵,使得,而非实对称矩阵只有当特征值的重数等于其线性无关的特征向量的个数时,才可相似对角化。
考生在复习这一模块时,把握住两个考点:第一,直接考查实对称矩阵的三条特殊性质。比如,对于性质1),考试中,可以利用实对称矩阵的特征值均为实数,来确定特征值的取值情况;对于性质2),题目中可能会给出实对称矩阵的其中一个或若干个特征值的特征向量,让我们求出另一个特征值的特征向量,这时,我们可以根据属于不同特征值的特征向量正交来求解;对于性质3),可以从实对称矩阵必可相似对角化来考查大家,由矩阵可相似对角化的充要条件—重特征值必有个线性无关的特征向量可知,对于实对称矩阵的重特征值,有。实对称矩阵这一块的第二个考点是计算正交相似对角化矩阵。由于正交矩阵指的是列向量组为单位正交向量组的矩阵,再结合矩阵的相似对角化矩阵的计算方法以及实对称矩阵的性质3)可知,实对称矩阵的正交相似对角化矩阵的具体计算步骤为:1)计算矩阵的所有特征值与属于不同特征值的特征向量;2)将属于同一特征值的特征向量正交化,因为,属于不同特征值的特征向量必正交,所以,我们只需将属于同一个特征值的特征向量正交化即可;正交化时,所用的方法就是施密特正交化方法,对于该方法,大家只需记得前两个公式就可以了,即,;3)将所有的特征向量单位化。最后将所得到的列向量组组成一个矩阵,得到的就是矩阵的相似对角化矩阵。
总的来说,实对称矩阵这个模块的题目很综合,而且计算量比较大,所以,需要同学们在做题的时候,要做到细心、有耐心,并且通过多做练习,提高做题的准确度与速度。
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