考研数学易错点：分段函数求高阶导

　　摘要：对于分段函数求一阶导，各位怕是早已烂熟于心，那么求高阶导数呢？大家是不是会经常出错，但也发现不了错误在哪里，今天查字典考研网就教大家分段函数求高阶导。

　　不仅是分段函数，对于一般的函数，求个三五次导还好说？求n次导呢？一般对于这种无法实现的求导，就可以将导数与级数结合在一起。

　　(导数如此，那么其他地方呢?其实，有些看似不可积的函数，与级数结合后未必不可积哦！）

　　从一道经典的题入手

　　先来复习一下分段函数的一阶导数怎么求：

　　连续的部分直接用求导公式求

　　分段点处的导数值用导数的定义求

　　接下来看高阶导数，先看操作

　　那么y(x)的导数就可以写成

　　接下来看高阶导数，先看操作

　　然后化简一下

　　然后我们发现，当x=0时

　　那么我原来的分段函数就可以如下表示

　　也就是我的分段函数用一个式子表示出来了。

　　下面我们来理一理思路：

　　首先，这是一个求导题，而且是求高阶导

　　求导我们一般有两种方法

　　一是用定义，这对于分段函数分段点的导数貌似很合适

　　二是用求导公式，一般连续函数才能用这个方法

　　但是用定义法去求这里的高阶导数，貌似不合适，如果只是求个2阶导数，3阶导数似乎可以硬着头皮算。

　　看到n次导数，想到了莱布尼兹的高阶求导公式，但是那个好像只能用于连续函数的求导，而且求导公式只能对一个函数式子求导。

　　然而我们的第一步，就是将一个分段函数用一个表达式子来表示，这样的话就满足用求导公式这种方法的使用条件了。

　　分段函数一般给大家的第一印象就是不连续（这是偏见啊!)

　　分段函数并不是不连续，只是有的时候没办法用一个式子去表达自己的函数关系，但是有的时候级数是可以的，这就是这里我们采用级数的方法的原因（题中x=0时sinx/x是没有定义的，但是级数就没有这顾虑，因为级数的x都是在分子上的。）

　　接下来继续答题，我们已将分段函数用一个式子表示了，下面有两种做法，第一种：将所给式子求n次导数后，将x=0代入得到答案。这是可以的，但是这种莽夫的做法。我们一般用第二种更高级的方法。（麦克劳林级数）

　　这是什么操作？

　　然后我们知道分段函数可以有两种表示方式了

　　然后看下面一种致命错误:

　　貌似没毛病？

　　但是式子①中左边式子中只有x的偶次数项，而右边既有x的偶次数项也有x的奇次数项，当n=3时，左右两边的x的次数明显不等。

　　那么当n时奇数的时候，为了保证左右两边x的指数相等，f(x)在0处的n阶导必为0；那么右边的式子就只剩下x的偶数次项了。

　　有人会问，为什么这里②式中的分子里的n不换成2k?

　　因为这个级数的所有项都是满足n=2k的，你把n换成2k也对，但这样你求的就是f(x)在0的2k次导数，而我们需要的时n次导，这只是一个表示方式的问题，其表示的内容都是一样的。

　　所以得到最后答案

　　最后补充：

　　对于求高阶导数，尤其是n次导数

　　1.莱布尼兹公式一般用于所给的f(x)是一个表达式的时候

　　2.而级数展开的方法是特别针对分段函数在分段点的高阶导数的

　　3.至于麦克劳林级数展开均可以和上面2个情况结合起来

　　一般用于求f(x)在x=0的高阶导数的情况。不管是分段函数还是一个表达式表示的函数，都可以用麦克劳林级数，起的是一个化简计算的作用。

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