2017年上海大学811高等代数考研初试大纲
考试科目:811高等代数
一、复习要求:
要求考生熟练掌握高等代数的基本理论以及常用的技巧和方法,能够熟练地综合运用高等代数的理论和方法去求解和证明有关问题
二、主要复习内容:
1.行列式
行列式的定义、性质和常用计算方法(如:三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法)。
重点:n阶行列式的计算。
2.矩阵理论
矩阵的运算,分块矩阵的初等变换与矩阵的秩,可逆矩阵与伴随矩阵,矩阵的三种等价关系(等价、合同、相似),矩阵的特征值和特征向量,矩阵的迹,矩阵的最小多项式,矩阵的对角化,矩阵的常用分解(如:等价分解,满秩分解,实对称矩阵的正交相似分解,实可逆阵的正交三角分解,Jordan分解),几种特殊矩阵的常用性质(如:准对角阵,对称阵与反对称阵,幂等阵,幂零阵,对合阵,正交阵)。
重点:利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式,矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法,矩阵的三种等价关系的关系,矩阵对角化的判断(特别是多个矩阵的同时对角化问题)和证明,矩阵分解的证明及应用(特别是实对称矩阵的正交相似分解,Jordan标准型的计算与有关证明)。
3.线性方程组
Cramer法则,齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明,非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点:非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。特殊方程组求解。
4.多项式理论
多项式的整除,最大公因式与最小公倍式,多项式的互素,不可约多项式与因式分解,多项式函数与多项式的根。
重点:运用多项式理论证明有关问题,如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用;重要定理的证明,如因式分解唯一性定理,Eisenstein判别法,Gauss引理等,不可约多项式的证明。
5.二次型理论
二次型线性空间与对称矩阵空间同构,化二次型为标准形和正规形,Sylvester惯性定律,正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质,正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点:正定和半正定矩阵的有关证明,n级方阵按合同关系的分类问题,实对称矩阵有关证明。
6.线性空间与欧氏空间
线性空间的定义,向量组的线性关系(线性相关与线性无关,向量组的等价,极大线性无关组的求法,替换定理),基与扩充基定理,维数公式,坐标变换,基变换与坐标变换,生成子空间,子空间的交与和(包括直和),内积和欧氏空间的定义及简单性质,子空间的正交补,度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用,线性空间的同构。
重点:向量组的线性相关与线性无关的综合证明,判断一个向量是否由一组向量表示及如何表示,求向量组的极大无关组并用之表示其余向量,维数公式的证明及应用,特别是子空间直和的有关证明,标准正交基的求法及其性质的有关证明。
7.线性变换
线性变换的定义、运算与矩阵,线性变换的核与值域,不变子空间,线性变换的特征根与特征向量,特征子空间,线性变换的对角化,正交变换、对称变换与反对称变换,线性变换与其矩阵对应关系的应用以及其特征值、特征向量等有关性质。
重点:线性变换与其矩阵对应关系的应用,线性变换的对角化,线性变换的核与值域。
正交变换、对称变换与反对称变换有关的证明。最小多项式和对角化的关系。
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